개념-lie group
로보틱스에서의 3차원에서의 회전행렬은 3d rotation group SO(3)의 원소이며,
SO(3)는 Lie group이다. 회전을 다루려면, Lie algebra를 사용해야한다.
group, ring, field
What is Lie group/algebra?
모든 Lie group에 기본 선형 공간이 항등원에서 Lie group의 접공간이고 Lie group의 국소 구조를 완전히 포착하는 Lie algebra를 연관시킬 수 있다.
Lie group: Lie group $G$는 군(Group) 구조와 매끄러운(differentiable) manifold 구조(즉 $G$는 위상공간이기도 하다.)를 동시에 가지는 대상이다. 즉, group의 원소들이 매끄러운 방법으로 연결되어 있고, group 연산(곱셈 및 역원)이 매끄럽다.
Lie algebra: Lie group $G$에 대응하는 Lie algebra $\operatorname{Lie}(G)$는, $ G $의 접다발(tangent bundle)을 통해 얻어진 선형 대수 구조이다. Lie algebra는 주로 group의 원소의 근처에서의 구조(국소적 구조)를 선형화하여 연구할 때 사용된다.
좀 더 엄밀히 말하면, Lie bracket(리 괄호)이라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.위상공간: 어떤 점의 “근처”가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성이나 수열의 극한, 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다.
위상:
집합 ${\displaystyle X}$ 위의 위상(topology)는 다양하게 정의할 수 있다.
그 중 하나는 열린집합을 사용한 정의인데, 이해할려면 위상수학을 처음부터 공부해야할 것같다.
관념적으로 이해하기 위해 다음과 같은 사실을 받아들이자.
위상은 “어떤 조건을 만족시키는 부분 집합들의 집합 ${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$”이다.
그러한 집합은 “위상을 이룬다”고 표현한다.
예를 들면, ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$(복소수를 원소로 갖는 nxn matrix)의 Lie algebra는 Lie bracket이 다음과 같이 주어진 정사각 행렬의 벡터 공간 ${\displaystyle {\text{M}}(n,\mathbb {C} )}$이다.
${\displaystyle [A,B]:=AB-BA}$ (이해안되도 넘어감)
수식으로 표현하면 다음과 같다.
$ \operatorname {Lie} (G)=X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {R} $
즉, 주어진 수식은 다음과 같은 Lie group $G$의 Lie algebra $\operatorname{Lie}(G)$를 정의한다:
$ n \times n $ 복소수 행렬 $ X $로 구성된 집합으로, $ X $에 대해 행렬 지수 함수 $ \operatorname{exp}(tX) $가 모든 실수 $ t $에 대해 $ G $에 속하는 행렬들의 집합이다.
이 집합은 Lie group의 구조를 반영하는 매우 중요한 선형 대수적 객체이다. Lie algebra는 Lie group의 성질을 연구할 때 핵심적인 역할을 한다. 예를 들어, Lie algebra를 통해 Lie group의 성질을 선형 대수학적인 방법으로 분석할 수 있다.